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  • Théorème de la base hilbertienne

    Formulaire de report

    START
    Théorème
    Théorème de la base hilbertienne Hypothèses:
    • \(H\) est un Espace de Hilbert

    Résultats:
    • on a l'équivalence :
            
      1. \(H\) est séparable et de dimension infinie

        
  • \(H\) admet une Base hilbertienne \((e_n)_{n\in\Bbb N}\)
  •     
  • \(H\) admet une Isométrie
    linéaire
    bijective vers \(\ell^2:=L^2({\Bbb N},{\Bbb K})\)
    • en supposant \(2.\), l'Isométrie est donnée par : $$\begin{align} H&\longrightarrow\ell^2\\ x&\longmapsto (\langle{x,e_n}\rangle )_{n\in\Bbb N}\end{align}$$

    Equivalence?:
    Résumé: La structure d'Espace de Hilbert est tellement forte qu'il n'existe qu'un seul espace de Hilbert intéressant en dimension infinie.
    END
    Démontrer \((i)\implies(ii)\) :

    On suppose qu'on a une suite dense dans \(H\), et on pose \(F_N\) l'ensembles des combinaisons linéaires de ses \(N\) premiers éléments.

    L'union des \(F_N\) est dense dans \(H\) de dimension infinie, donc la dimension de \(F_N\) tend vers \(+\infty\).

    Quitte à extraire pour enlever les vecteurs liés, on suppose \(\operatorname{dim} F_N=N\).

    On pose \(e_n\) en normalisant \(x_n-P_{F_n}(x_n)\) \(\to\) ils fonctionnent.


    Démontrer \((ii)\implies(iii)\) :

    On pose \(F_N\) l'ensemble des combinaisons linéaires des \(N\) premiers vecteurs de la base.

    On a une belle expression pour la projection sur \(F_N\) via le Théorème de Pythagore.

    Cela nous donne le fait que la somme des \(\lvert\langle{x,e_n}\rangle \rvert^2\) est égale à \(\lVert x\rVert^2\).

    L'application est donc une isométrie, et elle est donc injective.

    Il reste à montrer qu'elle est surjective \(\to\) pour une suite de \(\ell^2\), on pose \(s_N\) la somme des \(N\) premiers \(x_ne_n\).

    La différence entre deux éléments de \((s_N)_N\) peut être majoré par le reste d'une série sommable, donc c'est une Suite de Cauchy.

    Elle admet donc une limite dans \(H\), par complétude.

    Cette limite est antécédent de \((x_n)_n\), puisque, pour tout \(n\), son produit scalaire avec \(e_n\) donne \(x_n\) (en passant par la limite.)


    Démontrer \((iii)\implies(i)\) :

    Exhiber une base hilbertienne de \(\ell^2\) \(\to\) espace de Hilbert de dimension infinie ok.

    On a également une famille dénombrable dense \(\to\) séparabilité ok.